Circunferencia

Es el conjunto de todos los puntos en un plano de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.

La distancia entre uno de sus puntos y el centro se le conoce como radio y la recta entre dos puntos que pasa por el centro se le conoce como diametro, esto significa que la longitud del diametro de una circunferencia es el radio multiplicado por dos.

La circunferencia posee varios puntos, rectas y segmentos ademas del centro, diametro y radio tales como:

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de una circunferencia (el diametro es la cuerda de mayor longitud).
Recta secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos .
Recta tangente: es la recta que toca la circunferencia en un solo punto.
Punto de tangencia: es el punto de interseccion de la recta tangente con la circunferencia.
Arco: es el segmento curvilineo de puntos pertenecientes a la circunferencia 

Aunque son parte importante de la circunferencia no serán vistas con detalle en este blog.

 Nota: equidistan significa a la misma distancia. por esto podemos decir que todos los puntos tienen la misma distancia del centro.

La sigueite es una grafica de una circunferencia.

(figura 1 representacion de una circunferencia con centro (0,0))

La circunferencia no necesariamente debe tener su centro en el origen (0,0), para otras ocasiones el centro se representa con los caracteres h = x , k = y  

Procedimientos para encontrar variables

1. El Radio

     

para hallar el radio de una circunferencia se utilizara la distancia entre dos puntos basada en el teorema de pitagoras es decir.

 Este es el conocido teorema de pitagoras para hallar la distancia entre dos puntos se utilizara la siguiente ecuacion.

  

Para mas informacion consulte el blog de linea recta

En esta ecucacion se utilizaran las coordenadas de un punto variable y el centro, al desarrollar la ecuacion el resultado final; la distancia sera equivalente al radio ya que la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia es igual al radio (ver explicacion anterior) 

2. El Diametro 

Para encontrar el diametro como ya se habia explicado antes, sera unicamente necesario doblar el radio puesto que el diametro es el radio multiplicado por dos. 

Ecuacion de Circunferencia con centro en el origen

Ecuacion de la Circunferencia con centro (0,0) 

Para hallar la circunferencia con centro en el origen sera necesario conocer el radio de esta o un punto por donde pasa la circunferencia, cuando se conoce el radio sera mas sencillo puesto que La ecuacion tendra como estructura   , luego al hallar el radio unicamente conoceremos la ecuacion terminada, cuando conocemos un punto de la circunferencia deberemos usar la ecuacion de distancia y hallaremos el radio.

Ejemplos:

hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m

Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y un punto en (0,3)

En este momento ya se conoce el radio que es igual a 3 ya que la distancia es igual al diametro (en el caso de este ejercicio).
Asi que ya se podra estructurar la ecuacion que quedara como:

Ejercicios de aplicacion 

• Encontrar la ecuacion de una circunferencia con centro en el origen que pasa por el punto (5,3). grafique su respuesta
• Encontrar la ecuacion de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de diametro  es 4m. grafique su respuesta 
• Encontrar la ecuacion de una circunferencia con centro en el origen que pasa por el punto (2,6). grafique su respuesta
• Encontrar la ecuacion de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de radio es de 6m. grafique su respuesta
• Encontrar la ecuacion de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de radio es de 8m. grafique su respuesta 

Ahora un video sobre la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen 

 

Ecuacion de la Circunferencia con centro (h,k)

Como se había dicho anteriormente las circunferencias ubicadas en un plano cartesiano no necesariamente poseen el centro en el origen, en estas ocaciones el centro se conoce como (h,k)

Para hallar la ecuacion de una circunferencia con centro (h,k) hay que tener en cuenta la formula original de la cual van a algumas mas.

La primera es una formula fundamental con la cual se halla la ecuacion de la circunferencia, despues es aplicar la regla de productos notables, para terminar con la ecuacion de la circunferencia con centros (h,k).

Ademas hay que recordar que aquellos coeficientes que se encuentrar acoplados con las variables X y Y tienen un termino especifico para aplicar otra formula, estos se conocen como D y E, mientras que los terminos h + k - r  tambien poseen su termino especifico estos tres aliados acoplados se conocen como F. Para explicarlo mejor lo representaré con el anterior ejemplo 

D = -2xh
E = -2yk
F = h´2 + k´2 - r´2

Las siguientes son formulas diseñadas para hallar el centro y el radio 

Estas formulas se transforman en poderosas armas, colosalmente precisas en la cual cada una de las variables D,E,F nos conduce a la respuesta de la ubicacion de los puntos y el radio.

Esta ultima tambien se degenera en algunos otros procesos algo complejos en los cuales reemplazamos con las anteriores dos ecuaciones ya que conocemos los valores h,k lo cual nos lleva a la siguiente ecuacion.

Para explicar como paso de la ecuacion 3 a esta distinta e incomprensible ecuacion comenzaré recordando que al reemplazar h y k  los valores seran D y E divididos a la mitad, al ser elevados al cuadrado en la ecuacion numero tres, el denominador sera 4 en ambos terminos, ya que el coeficiente de F es 1, convertiremos ese 1 en fraccion con 4 dividido 4,
El resto sera convertir la potencia del radio en radical al otro lado del igual, ya que 4 tiene raiz cuadrada sera el que salga del radical dando asi la ecuacion numero 4.

Ejercicios de aplicacion 

• Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro (-5.-3) y radio 6m 
• Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro (2,7) y radio 3m 
• Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro (3,3) y radio 12m 
• Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro (6,2) y radio 5m 
• Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro (4,5) y diametro de 9m 

Ahora un video acerca de la ecuacion de la circunferencia con centro (h,k) 

 

La Elipse

Es el lugar geometrico de un punto que se mueve en el plano tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos situados en el mismo plano es una cantidad constante 

 (figura 1-1 representacion de una elipse; focos A y B con centro (0,0))

La elipse tiene varias caracteristicas que la definen como elipse, estas son: 

a. F= focos 
b. Centro (0,0) o (h,k) 
c. Eje mayor vertices v y v prima 
d. La distancia del centro del elipse al foco es c
e. Distancia entre los dos focos es igual 2c
f. Distancia del centro de la elipse a un vertice del eje mayor = a
g. Distancia del eje mayor = 2a
h. Distancia del centro de la elipse a el vertice b; Eje menor b
i. Distancia del eje menor = 2b


En la anterior grafica se ven los focos expresados en variables aleatorias caso A y B, sin embargo para evitar confundirse es recomendable expresarlos como F y F prima

Ecuacion de una elipse con centro en el origen

Para hallar la ecuacion de una elipse con centro en el origen existe un proceso que es intensamente complejo el cual mostraré en el video por ahora toca tener en claro que la ecuacion esta estructurada como

Con esta ecuacion determinamos el eje mayor y el eje menor mientras conoscamos la ecuacion para encontrar a, lo unico que se debe hacer es sacarle la raiz cuadrada lo mismo para encontrar b en la ecuacion conocemos ambas variables elevadas al cuadrado un simple proceso de despeje y es muy facil encontrar la respuesta.

Recordemos que c será igual a la distancia entre el foco y el centro de la elipse , es decir que si no tenemos c y tenemos un foco y el centro sera igualmente rapido hallar la variable.

Cuando se conocen dos variables la ecuacion a recurrir sera el famoso teorema de pitagoras,
ya que cuando no se conosca una variable sera sencillo de encontrarla con este metodo 


Ahora un ejemplo de la ecuacion de la elipse con el centro en el origen 


encuentre la ecuacion de la elipse con el centro en (0,0) ; foco en (3,0); vertice en (5,0) 

Esta es la grafica de la elipse mencionada en el ejemplo, sin embargo en la grafica aparece el foco primo plasmado como B, para desarrollar el problema despreciaremos este dato.

asi que para encontrar la ecuacion lo que debemos hacer es sacar la diferencia entre el vertice y el centro 

Ya que sacamos la distancia entre el origen y el vertice podemos deducir que d sera igual a a tambien sabemos que a elevado al cuadrado sera 25, y ya tenemos la primera variable encontrada ahora encontraremos b, pero para encontrar b primero debemos encontrar c lo cual conocemos como la distancia del centro al foco.

En esta ocasion d será igual a c y al final ya que conocemos c podremos encontrar b

 ahora podremos decir que la ecuacion de la elipse es

Ejercicios de aplicacion 

• centro (0,0); foco (1,0); vertice (6,0)
• centro (0,0); foco (0,-3); vertice (0,4)
• centro (0,0); foco (2,0); vertice (4,0) 
• centro (0,0); foco (-5,0); vertice (6,0) 
• centro (0,0); foco (-4,0); vertice (8,0)

Ahora el video de la demostracion

preparense para sufrir al estilo analitico.  

 

Esta es la segunda parte 

 

Ecuacion de una elipse con centro (h,k)

Para hallar la ecuacion de una elipse con centro (h,k) sera exactamente igual que la del centro en el origen , la unica diferencia es que cuando se saque la distancia entre dos puntos se cambiaran las coordenadas (0,0) por (h,k) es decir  x - h  y , y - k la ecuacion quedara estructurada de la siguiente manera 

como para el otro tipo de ecuacion primero debemos encontrar ciertas variables tales como a,b y c conociendo el centro el foco y un vertice ( lo que se conoce no aplica para todas los ejercicios ) 

ahora un ejemplo 

• centro (1,1); foco ( 4,1); vertice (6,1) 

 Para empezar a armar el rompecabezas encontramos c ya con la formula determinada, y d = c , ya que  c es la distancia entre el foco y el centro.

Para el siguiente paso del rompecabezas hallamos a es decir la distancia del centro al vertice, para conocer la formula investigue el inicio del blog , o el de linea recta.

Para continuar lo que se hizo fue encontrar b con el teorema de pitagoras ya conociendo a y , 
ya que se tienen todos los valores necesarios será sencillo expresar la ecuacion.

Ejercicios de aplicacion 

• centro (-3,2); foco (4,2); vertice (7,2) 
• centro (2,4); foco (-1,4); vertice (-3,4)
• centro (-5,-3); foco (0,-3); vertice (1,-3)

 Ahora un video acerca de la ecuacion de un elipse con centro h,k

Parte - 1

Parte - 2